21 нояб. 2014 г.

Математика и шахматы


     Если вы умеете играть в шахматы, то наверняка знаете, что лёгкую фигуру (коня или слона) можно смело отдать за три пешки, а ферзя за две ладьи; конь и пара пешек компенсируют потерю ладьи и т.д. Предлагаем обсудить математику на шахматной доске. Ниже приводится выдержка из книги Е.Гика "О силе шахматных фигур".



         Конечно, истинная сила фигуры зависит от конкретной позиции: вы без труда приведёте примеры, когда одна пешка матует вражеского короля, окружённого всей армией своих фигур. И всё же ясно, что каждая фигура в шахматной игре имеет некоторую среднюю силу. Для сравнения сил фигур за единицу обычно принимают силу пешки, выражая через неё силы остальных фигур. В учебниках, как правило, предлагается такая шкала:
Fп = 1, FК = FС = 3, FЛ = 5, FФ = 9.
 Эта шкала подтверждается многочисленной практикой и опытом шахматистов. Однако существуют и чисто математические пути определения силы шахматных фигур. Один из наиболее распространённых способов связан с подвижностью фигур. Рассмотрим для примера ходы короля (рис.1) С каждого из угловых полей он может сделать 3 хода, с неугловых полей крайних вертикалей и горизонталей — по 5 ходов, наконец, с остальных полей доски король в состоянии переместиться на любое из 8 соседних полей. Суммируя, получаем число возможных ходов короля на шахматной доске, обозначим это число через SКр:
SКр = 3·4 + 5·24 + 8·36 = 420.
Находим числа Sx для других фигур:
SФ = 21·28 + 23·30 + 25·12 + 27·4 = 1456, SЛ = 14·64 = 896, SС = 7·28 + 9·20 + 11·12 + 13·4 = 560, SК = 2·4 + 3·8 + 4·20 + 6·16 + 8·16 = 336, Sп = 2·10 + 3·32 + 4·6 = 140.
Если мы теперь разделим Sx (число возможных ходов фигуры x) на Nx (число полей, на которых эта фигура может стоять), то получим среднее число ходов фигуры с одного поля доски. Назовём это число Px подвижностью фигуры x:
Px = SxNx
Очевидно, Nx = 64 для всех фигур, кроме пешки, а Nп = 48.
Отсюда находим:
PКр = 6,5625; PФ = 22,75; PЛ = 14; PС = 8,75; PК = 5,25; Pп = 2,5.
Будем считать, что сила фигуры прямо пропорциональна её подвижности. Принимая, как и выше, силу пешки Fп за единицу, силы остальных фигур выразим через неё по формуле
Fx = PxPп
В результате получится следующая шкала:

Fп = 1; FКр = 2,6; FФ = 9,1; FЛ = 5,6; FС = 3,5; FК = 2,1.

Пишите Ваши мнения в комментариях